Задачки…

Δ На Сириусе возможны три варианта погоды: магнитная буря, метеоритный дождь, штиль. Известно, что погода на текущий день однозначно определяется погодой предыдущих семи дней. Всю эту неделю на Сириусе шёл метеоритный дождь. Докажите, что «дождливые» недели на Сириусе всегда были и всегда будут.

Δ Два кота стащили со склада 999 сосисок, соединенных в 100 цепочек (одиночных сосисок нет). Коты по очереди проделывают следующую операцию: перегрызают одну перемычку и съедают все возникающие при этом одиночные сосиски. Докажите, что кот, который перегрызает перемычку первым, может съесть более половины сосисок.

Δ k-рукий игрок с закрытыми глазами и правильный n-угольный стол играют в такую игру. На всех углах стола стоит по стакану в нормальном положении или вверх дном. Игрок на ощупь проверяет, в каком положении на любых k углах стоят стаканы, и может их поставить в любое из двух положений. После этого стол (он вращается на одной ножке) поворачивается на некоторый угол. Игрок выигрывает, если он может за несколько ходов установить все стаканы в одно положение (нормальное положение или вверх дном). Как только все стаканы оказываются в одном положении, звенит колокольчик. Докажите, что игрок выигрывает при n=6, k=4.

Δ Большой Зелёный Камнеед живёт внутри выпуклого астероида, имеющего объём 36 кубических километров. В настоящий момент он немного заблудился. Доказать, что Камнеед может выбраться на поверхность, проделав путь не более 18 километров.

Δ 38 попугаев передрались, измеряя рост удава. Каждый из них сумел выдрать одно перо из чьего-то хвоста, и у каждого было выдрано одно перо. Кроме того, для любых трех попугаев можно указать четвертого, выдравшего перо у одного из них. Докажите, что для наведения порядка удав может проглотить не более 6 попугаев, а остальных рассадить поровну в две клетки так, чтобы ни один попугай не попал в одну группу со своим обидчиком.

Δ Бюджет утверждают следующим образом. Сначала правительство предлагает сумму, которую полагается выделить на зарплату. Затем в первом чтении депутаты делят её на три, а результат умножают на два. Затем правительство вычитает 1 миллион рублей. Во втором чтении депутаты делят результат на 3, а то, что получилось, умножают на 2. Затем правительство вычитает 1 миллион рублей. В третьем чтении депутаты делают то же, что и раньше, и бюджет принимается. На зарплату израсходовали три миллиона рублей. Какая сумма планировалась на зарплату первоначально?

Δ В тридевятом царстве в целях экономии топлива все грузы перевозят на Змеях Горынычах, имеющих бортовой номер от 1 до 200. Число голов Змея определяет его грузоподъемность в тоннах; оно равно числу делителей бортового номера. Однажды на Калиновом мосту грузовым Змеем Горынычем была сбита гражданка Баба Яга. Свидетели показали, что число голов Змея было нечетно, а среди цифр бортового номера была цифра 5. Помогите Добрыне Никитичу, следователю по ДТП, выявить нарушителя.

Δ На пир собралось 100 людоедов. Известно, что среди любых десяти хотя бы один оказался в желудке у другого (из этой десятки). Докажите, что есть «матрешка» из 12 людоедов, каждый из которых (кроме последнего) находится в желудке у следующего.

Δ В ящике находятся марсианские вредилки трех сортов: кусалки, щипалки и кричалки. Время от времени вредилки делятся пополам, и их количество увеличивается. Если делится кусалка, то получаются щипалка и кричалка, если делится щипалка, то получаются кусалка и кричалка, и, наконец, если делится кричалка, то получаются кусалка и щипалка. В некоторых момент в ящике оказалось 20 кусалок, 21 щипалка и 22 кричалки. Известно, что первоначально в ящике была одна вредилка. К какому сорту она могла относиться?